lunes, 10 de noviembre de 2014

Interstellar - Dilataciones temporales


Bueno, después de ver la susodicha película se me ocurrió hacer unos pocos cálculos sobre la diferencia temporal que experimentarían dos observadores situados a diferentes distancias del horizonte de sucesos de un agujero negro, en este caso, el agujero negro supermasivo "Gargantúa" de la película, que tiene unas 100 millones de veces la masa del Sol.

No es mi intención discutir la película aquí, ya que daría para un post demasiado largo (aunque no puedo callarme lo de los robots, demasiado esperpénticos a la par que ridículos, parecía que estaba viendo una película cómica del estilo "La guía del autoestopista galáctico"). Sino que sólo quiero centrarme en la curiosidad matemática respecto a los intervalos de tiempo que miden diferentes observadores en la vecindad de un agujero negro.



Para ello eché mano de las ecuaciones que aparecen en wikipedia:

La ecuación en cuestión es ésta:


donde TA es el tiempo que mide un observador situado a una distancia R de la singularidad del agujero negro y  TB es el tiempo que mide un segundo observador situado a una distancia h del primero (G es la cte. de la gravedad, M la masa del agujero negro y c la velocidad de la luz).

El Radio de Schwarzschild de un agujero negro de estas características es aproximadamente 1 UA (UA es la abreviatura de Unidad Astronómica, y es la distancia promedio que separa la Tierra del Sol, que son unos 150 millones de kilómetros. En realidad, para 100 millones de veces la masa del Sol me salen 1,97 UA, que es casi el doble, pero para el caso es casi lo mismo, en comparación, notemos que el Rs de un agujero negro de masa solar es de unos 3 kilómetros). Esto significa, que cualquier objeto que se sitúe a una distancia menor de la singularidad que su radio de Schwarzschild, se verá irremediablemente atrapado y no podrá salir nunca.

Por lo tanto supongamos que situamos un observador en un planeta en órbita alrededor de Gargantúa a una distancia cómoda de 1 UA (es decir, 2 UA de la singularidad ya que el radio del horizonte ya es de 1 UA) y un segundo observador en una nave espacial en órbita también alrededor de Gargantúa y de forma estacionaria respecto del planeta donde se encuentra el primer observador.
Según la ecuación, Si h no es muy grande el tiempo que miden ambos observadores es casi el mismo. La diferencia aumentará a medida que aumenta h. Por otro lado, si R es muy grande, la diferencia de tiempo también será mínima (R+h será casi igual que R, por lo que dos observadores que estén muy alejados del agujero medirán tiempos casi iguales aunque la distancia entre ellos también sea grande)

Con esto ya intuimos un poco lo que sucede con el tiempo cerca del agujero negro. Echando números, suponiendo que R es de 2 UA y situando la nave espacial a 1UA del planeta (h  =  1UA, ya que hemos supuesto una órbita geoestacionaria), nos sale que la razón entre los tiempos que miden entre ambos sistemas de referencia es de 1,15, es decir, el tiempo que mide el observador situado en B pasa 1,15 veces más rápido que el que pasa el observador en A, o lo que es lo mismo, el observador en la nave espacial envejece 1,15 veces más rápidamente a como lo hace el observador situado en el planeta.

Aquí nos encontramos con un problema respecto a la película (en realidad dos), ya que según se comenta el tiempo que miden desde el planeta pasa mucho más despacio que en la nave. Concretamente, 1 hora de tiempo medido desde el planeta equivalen a 7 años de tiempo medido en la nave. Con esta diferencia (el tiempo pasa 61320 veces más despacio) entre los tiempos de ambos sistemas de referencia y despejando h de la ecuación encontramos que la distancia del planeta al horizonte de sucesos debe ser muy pequeña. Si el planeta está aproximadamente a 1 UA sobre el horizonte, la diferencia de tiempo respecto el observador situado en la nave espacial nunca será de 61320 veces, sino sólo de 1,4 veces (y nunca aumenta de ese valor por mucho que la nave se aleje del planeta). Por lo que necesitamos acercar mucho el planeta al horizonte para que las diferencias se vayan incrementando.
Con el planeta situado a sólamente 1 metro de altura sobre el horizonte (!!!) los efectos son mucho más intensos, y un segundo observador a una distancia de unos 4 millones de kilómetros ya notaría que el tiempo pasa unas 60000 veces más deprisa, pero claro, el planeta debe estar casi rozando el horizonte.

Con esto se ve claramente que a una distancia prudencial (en la que un planeta pueda orbitar de forma tranquila alrededor de un agujero negro como Gargantúa) la diferencia temporal entre observadores separados incluso a grandes distancias entre ellos no es muy grande. 

El segundo problema tiene que ver cuando uno de los observadores atraviesa el horizonte de sucesos.
En este caso, cuando R es igual al radio de Schwarzschild, la diferencia de tiempos que miden los observadores es infinita (el denominador de la ecuación se hace 0), o lo que es lo mismo, visto desde el observador externo, el observador que cae al agujero parece "congelarse en el tiempo" justo antes de cruzar el horizonte. Cualquier intervalo de tiempo que mida el observador que atraviesa el horizonte se convertirá en una cantidad infinita de tiempo para cualquier observador situado fuera.

Desde aquí os animo a que juguéis un poco con la ecuación y veáis vosotros mismos los interesantes efectos respecto al tiempo que de ella se deducen.

Saludos.



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