viernes, 20 de septiembre de 2013

Entropía en un espacio de fases



Recientemente, leyendo el libro de Roger Penrose "Los ciclos del tiempo", comprendí una forma sencilla de entender la entropía de un sistema a través de una herramienta matemática conocida como "espacio de fases".

Normalmente, en textos divulgativos, siempre se suele mencionar el concepto de entropía refiriéndose a él como "el grado de desorden de un sistema", entendiéndose por desorden como "un estado del sistema con un bajo nivel de información". Por ejemplo, una montaña de arena desordenada no presenta mucha información, mientras que un castillo de arena es un "montón de arena" con un alto nivel de información, y, por lo tanto, baja entropía.

El concepto del espacio de fases proporciona una forma clara de entender la entropía en términos del número posible de estados y el tipo de esos estados de un sistema dentro del espacio de fases de dicho sistema.

El espacio de fases de un sistema es una extensión del concepto de "Espacio de configuración", por lo que empezaré primero por este concepto y lo haré extensible al concepto del espacio de fases.


Espacio de configuración
Un espacio de configuración de un sistema, no es más que un espacio matemático abstracto con un número de dimensiones espaciales igual al número de coordenadas de cada componente del sistema.
Normalmente, estamos acostumbrados a la descripción del espacio como un sistema de 3 coordenadas espaciales en el que la posición de cada objeto queda determinado por 3 números. Por lo tanto, para poder describir un sistema de n objetos necesitamos n juegos de 3 números. Por ejemplo, para describir un sistema de dos partículas necesitamos 2 conjuntos de 3 coordenadas (6 números en total).
En lugar de utilizar una entidad compleja, como puede ser un sistema de n cosas, para describir su estado en un espacio de 3 dimensiones, podemos dar la vuelta a la tortilla y utilizar un objeto simple (un punto) en un espacio de 3xn dimensiones. Volviendo al ejemplo de nuestro sistema de 2 partículas, utilizar el espacio de configuración se traduce en describir el sistema dando la posición de un punto en un espacio de 6 dimensiones en lugar de utilizar 2 juegos de 3 números en un espacio de 3 dimensiones.´

Espacio de fases
El espacio de fases, no es más que una extensión del espacio de configuración en el que se añade una coordenada más, cantidad de movimiento (masa multiplicada por la velocidad de una partícula), al conjunto de coordenadas espaciales, por lo que tenemos 4 coordenadas para cada elemento del sistema. Un espacio de fases que describa un objeto compuesto por n partículas necesita 4*n dimensiones.

Efectivamente, no nos podemos imaginar espacios de más de 3 dimensiones (de hecho, tampoco podemos imaginarnos espacios de 3 dimensiones, solo podemos imaginar proyecciones bidimensionales de figuras tridimensionales, pero esto lo discutiremos en otra ocasión), por lo que hay que tener en cuenta, que un espacio de fases sólo es una herramienta matemática para simplificar ciertos aspectos involucrados en la descripción de un sistema.

Evolución de un sistema en el espacio de fases
Una vez que entendamos el concepto del espacio de fases, nos quedará claro que un sistema queda determinado por la posición de un punto en este espacio de fases, y , por lo tanto, su evolución, no es más que una sucesión de puntos (una línea o trayectoria) dentro de dicho espacio. E aquí, por lo tanto, la simplificación que ofrece esta herramienta: describir la evolución de un sistema como una trayectoria unidimensional dentro de un espacio de varias dimensiones en lugar de utilizar una trayectoria por cada componente del sistema en un espacio tridimensional. Volviendo al símil del montón de arena, podemos describir la evolución de dicho sistema mediante una trayectoria unidimensional dentro de su espacio de fases (que tendrá un número de dimensiones igual a 4*número de granos de arena).

Volviendo a la noción de entropía. Regiones de grano grueso.
¿Qué narices tiene que ver toda esta basura con la noción de entropía?
Bueno, vayamos despacio. Dentro de un espacio de fases, que no es más que la colección de todos los puntos posibles en los que puede encontrarse un sistema, encontramos "regiones" que tienen una mayor cantidad de información que otras. Las regiones que tienen diferentes cantidades de información se denominan "regiones de grano grueso" (no me preguntéis por el origen de los nombres).
Estas regiones pueden diferir grandemente unas de otras en su volumen. En el caso de nuestro sistema formado por un montón de arena, hay conjuntos de estados que tienen más o menos la misma cantidad de información, por ejemplo, un montón de arena no cambia mucho de aspecto si lo removemos un poco, por lo que conserva más o menos la misma cantidad de información (poca). Pero un castillo de arena, es un estado del sistema con bastante cantidad de información, y cualquier cambio en el sistema, por ejemplo si le damos un manotazo, o derribamos algunas almenas, conduce a un estado con una cantidad de información menor; o , en caso contrario, si perfilamos cada vez más detalles y aumentamos la resolución, el sistema tendrá una mayor cantidad de información.

Pero rápidamente nos damos cuenta de que el volumen de estados en que un montón de arena tiene poca información es muy superior al volumen de los estados en que un montón de arena tiene mucha información. Dicho en cristiano: hay muchos más estados en que un montón de arena se parece simplemente a un montón de arena cualquiera, que estados en que un montón de arena se parece a un castillo.

Esto, que no es más que una verdad de perogrullo, como se dice, significa que el volumen de la región de grano grueso de un sistema es mucho mayor cuanto menos información contenga, y por lo tanto, es mucho más probable que cualquier trayectoria de un sistema en un espacio de fases acabe en una región de grano grueso de poca información, puesto que los volúmenes de las regiones de grano grueso de poca información son muy superiores (de hecho muchos órdenes de magnitud superiores) a los volúmenes de las regiones de grano grueso de mucha información.
Es por esto que en estos términos se define la entropía de un sistema como "Una cantidad que es directamente proporcional al volumen de la región de grano grueso en la que se encuentra dicho sistema". Si la región de grano grueso tiene poca información (voluen muy grande), la entropía será alta, y si dicha región tiene poca información (volumen pequeño), la entropía será pequeña. Por esto es por lo que los montones de arena son sistemas de alta entropía, mientras que los castillos de arena son montones de arena de baja entropía.

Ludwig Boltzmann es el gran protagonista de esta historia, quien la resumió en la famosa ecuación que yace grabada en su propia tumba:

S = K*LogV

S es entropía.
K es la Constante de Boltzmann (1,38e-23 J/K).
V es el volumen de la región de grano grueso del espacio de fases.

2ª ley de la termodinámica
Normalmente encontraremos con que la famosa segunda ley se enuncia más o menos de la siguiente forma: "En un sistema aislado, la entropía del mismo siempre se mantendrá constante o aumentará, pero nunca disminuirá"
¿Como se traduce esto en términos de volúmenes de espacios de fases?
Pues más o menos sería como sigue:
"Un sistema aislado evoluciona de forma que es mucho más probable que acabe en una región de grano grueso de poca información, puesto que los volúmenes de estas regiones son muy superiores a aquellas de mucha información".
Por lo que una ley que en principio no parece que tenga mucho que ver con el sentido común se convierte casi en una obviedad trivial: "Un sistema aislado evoluciona siempre de forma que acabe en uno de sus estados más probables".
O lo que traducido en el lenguaje de los montones de arena:
"Un castillo de arena aislado evolucionará hacia un montón de arena amorfo, puesto que hay muchas más configuraciones para los montones de arena en los que estos se parecen a montones de arena amorfos que a castillos".



jueves, 3 de enero de 2013

¿En qué consiste la Ciencia?



Interesante artículo de "la Pizarra de Yuri", acerca del método científico:

http://lapizarradeyuri.blogspot.com.es/2009/07/que-es-cientifico.html


Ya que la entrada anterior iba de Fe y Razón, me ha parecido adecuado recordar cual es la manera apropiada de tratar de comprender la realidad.

Un saludo