jueves, 21 de mayo de 2009

Dimensiones del espacio y comeduras de tarro II. La botella de Klein



Bueno, como no podría ser de otra manera, he seguido dándole vueltas al tarro con esto de las dimensiones espaciales, y navegando por la web me he encontrado con algunos sitios web interesantes, como por ejemplo éste. Una de las cosas que me ha llamado la atención es la figura geométrica conocida como "Botella de Klein". En la imagen principal de esta entrada aparece una buena ilustración de una botella de Klein típica.

Si uno no se fijara con detenimiento podría pensar que no es otra cosa más que una simple figura geométrica de nuestro espacio 3d, sin embargo, una inspección más detallada nos revela que a esta figura le pasa algo raro. Se corta sobre sí misma formando una especie de bucle.
Si uno se imagina a una hormiguita o algún otro bichito (el que le tenga fobia a las hormigas o a los bichos que se imagine otra cosa) caminando por la superficie de la figura se encuentra con una cosa muy curiosa: Aunque parece que la botella de Klein tiene dos caras, y por consiguiente, un "adentro" y un "afuera" en realidad la figura solo tiene una cara. Si una hormiguita u otro bicho camina sobre la superficie desde "afuera" al cabo de un rato se encuentra que está "adentro".
Uno podría pensar: "Esto no es posible ya que cuando la botella se cruza sobre sí misma, una hormiga que caminase por la superficie se toparía con una pared!". Bueno es cierto, lo que ocurre es que hay que imaginarse que la hormiga está "inmersa" en la superficie de la botella, es decir, se trata de una hormiga que vive en una superficie de 2 dimensiones. Como una hormiga de Planilandia.
Incluso después de dar este salto dimensional, uno puede plantearse: "De todos modos esto no puede suceder en el mundo real, porque en nuestro mundo 3d las figuras geométricas no pueden cortarse sobre sí mismas sin tocarse". Esto es cierto. Si uno intenta hacer una botella de Klein de cristal se da cuenta de que no es posible salvar este escollo, véase la siguiente imagen:

Friki con su botella de Klein

Es aquí cuando empieza lo interesante. Resulta que una botella de klein no es una figura 2d inmersa en nuestro espacio 3d. En nuestro espacio 3d las superficies no pueden cruzarse sobre sí mismas sin tocarse, ¡pero en 4d si se puede!. ¡La botella de Klein es una superficie 2d inmersa en un espacio 4d, y la botella se cruza sobre sí misma sin tocarse ni nada!. ¡No si al final resulta que la Topología es interesante y todo! XDD.
Si antes de ver la imagen de la botella de Klein alguien me hubiese dicho que puede haber figuras geométricas de 2 dimensiones cerradas sobre sí mismas que no tienen un "adentro" o un "afuera", o que solo tienen 1 cara, le habría tomado por loco (o por matemático que casi viene a ser lo mismo XDDD*).
La idea de este tipo de superficies deriva de la famosa (por los matemáticos claro) Banda de Moebius:


Se puede ver también, que si uno se imagina hormiguitas bidimensionales andando por una banda de Moebius, éstas acaban andando "por la otra cara" de la cinta sin que hayan dado algún "salto". No se si me explico.

Sucede, que en las matemáticas hay un tipo de superficies que denominan "Superficies no-orientables". En el espacio 3d, las superficies cerradas tienen la característica de dividir el espacio de forma que hay zonas que quedan "dentro" de la figura geométrica y hay zonas que quedan "fuera". Sin embargo, en un espacio de mayores dimensiones, las superficies cerradas de 2 dimensiones se encuentran conque hay una dimensión que se les "escapa" y no pueden contener o acotar. Esto se pone de manifiesto con figuras como la botella de Klein.


*. Espero que no se ofendan los matemáticos con esta frasecilla de marras, que conste que a mi cada vez me gustan más las matemáticas.

martes, 19 de mayo de 2009

Dimensiones del espacio y comeduras de tarro




Resulta que desde ayer, mis compañeros de trabajo y yo empezamos ya a desbarrar algo más de la cuenta en los desayunos. El tema en cuestión de tan amenas charlas es el tema de las dimensiones del espacio.
El asunto comenzó al preguntarme una amiga del curro si el mundo que vemos lo vemos en 3d o en 2d. Yo, sin pensarlo mucho, todo sea dicho, dije..."pues vemos en 3d , está claro". Noooooooorrrrrrr!!!!. Al poco, y no sin una ayudita, ya me di cuenta de mi error.

Es evidente que vivimos en un mundo en 3 dimensiones. Hasta aquí no hay sorpresas (quitando de en medio teorías como la del universo holográfico, que solo de pensarlo ya me entra dolor de cabeza), bueno, en realidad, si consideramos la Relatividad General de Einstein, el tiempo está íntimamente entrelazado con el espacio, de forma que nuestro mundo, en realidad es de 4 dimensiones "espaciotemporales". Pero esto es otro tema digno de comeduras de tarro avanzadas.
Nuestro espacio convencional se puede simular perfectamente en un espacio euclidiano de 3 dimensiones. Ahora bien, una cosa es lo que el mundo es y otra cosa es lo que vemos de él.
Lo cierto es que al principio cuesta desarraigarse de que nuestra "percepción de la profundidad", no es más que una avanzada técnica inventada por el cerebro apoyada por una cierta disposición de los ojos (posición que nos proporciona lo que se conoce técnicamente como "visión estereoscópica", algunos animales, mayormente herbívoros, carecen de este tipo de visión y sus ojos están dispuestos de forma que proporcionan una visión periférica más adecuada para tener bajo control todo lo que sucede alrededor. La visión estereoscópica fue un invento de los depredadores para aumentar la eficiencia en la caza). Lo crucial en este se ve claramente en el hecho de que lo que vemos no es diferente de lo que se puede plasmar en una fotografía o en un dibujo, que al fin y al cabo están contenidos en superficies de 2 dimensiones. Nuestro cerebro, combina una secuencia de imágenes en 2 dimensiones y le aplica la percepción de profundidad, de ahí el hecho de que parezca que vemos en 3d. La tercera dimensión que añade nuestro cerebro no es más que la "profundidad" deducida de la combinación de imágenes en 2d.

Pensemos en lo que implica que el espacio sea tridimensional. Geométricamente se ve que en el espacio tridimensional tres líneas rectas pueden ser perpendiculares entre sí (por ejemplo los vectores unitarios del espacio euclídeo). Sin embargo es imposible que el ojo humano capte esto. Cuando vemos un objeto como un cubo de 6 lados, deducimos que las aristas son perpendiculares entre sí después de aplicar una serie de rotaciones al cubo; en cada una de esas rotaciones podremos ver que hay dos aristas perpendiculares entre si, pero para poder situar una tercera arista de forma perpendicular hay que someter al cubo a una nueva rotación haciendo que las dos primeras aristas dejen de ser perpendiculares en la imagen que se plasma en nuestro cerebro. Deducimos que las aristas son perpendiculares solamente después de girar el cubo el número de veces necesario.

Para comprender mejor porqué vemos en 2 dimensiones un mundo de 3, imaginemos cómo es la vida en el famoso mundo denominado "planilandia" de Edwin Abbot. Este es un mundo imaginario de dos dimensiones habitado por seres bidimensionales. Los seres bidimensionales de planilandia solo se pueden mover en las direcciones arriba-abajo y izquierda-derecha. Un ser bidimensional que contemple figuras geométricas como cuadrados o triángulos solo podrá observar segmentos de líneas, y no le será posible contemplar el cuadrado de una sola vez, es decir, no puede ver los 4 lados del cuadrado de una sola vez, sino que deberá girar el cuadrado para poder ver cómo es por detrás. El ser bidimensional no podrá deducir que el cuadrado es un ente igualmente bidimensional hasta que no haya hecho un número suficiente de giros para poder verlo desde diferentes direcciones. Sin embargo un ser tridimensional que observe planilandia y vea el cuadrado, no necesitará aplicarle ningún giro para poder ver los 4 lados a la vez. Un ser bidimensional solo puede observar segmentos unidimensionales de los objetos de su mundo bidimensional, es decir, la visión (por así decirlo) de un ser bidimensional es en 1 sola dimensión. Esto es así porque para poder ver el mundo se necesita de órganos receptores situados sobre la superficie del organismo, pero la superficie de un organismo de dimensión n es siempre n-1. Un organismo de 2 dimensiones tiene una "superficie" de 1 dimensión (una línea cerrada). Un organismo de 3 dimensiones (como nosotros) tiene una superficie de 2 dimensiones, y puesto que tenemos que disponer nuestras células fotosensibles sobre una superficie bidimensional solo podremos percibir la proyección del mundo tridimensional sobre una superficie bidimensional. Los organismos tridimensionales, por lo tanto, vemos en 2d y no en 3d.

Rápidamente se da uno cuenta de que para poder ver un cubo tridimensional de 6 lados en su totalidad necesitamos hacerle una serie de giros, es imposible contemplar las 6 caras del cubo a la vez de la misma forma que le es imposible a un organismo 2d ver los 4 lados del cuadrado al mismo tiempo.
Un organismo de 4 dimensiones que observase nuestro mundo tridimensional, podría disponer de una serie de células fotosensibles sobre su superficie tridimensional (recordemos que la superficie de un objeto de dimensión n es de dimensión n-1), y por lo tanto no necesitaría girar el cubo para poder ver los 6 lados a la vez. No necesitaría darle la vuelta a una persona para poder ver al mismo tiempo su cara y su nuca, o su pecho y su espalda.
El mundo 3d visto con unos ojos 3d sería muy diferente a como podemos verlo nosotros con nuestros ojos bidimensionales (nótese que aunque parece que nuestros ojos son tridimensionales ya que tienen anchura, altura, y profundidad, la capa de células fotosensibles es bidimensional, y la superficie de la célula fotosensible, al fin y al cabo, también es bidimensional).

Bueno ahí dejo eso para que os comáis el tarro que yo ya le he dado bastantes vueltas al asunto.

P.D.: Como regalo he puesto una imagen del artista holandés Maurits Cornelis Escher, famoso por sus proyecciones bidimensionales y perspectivas diabólicas