Dimensiones del espacio y comeduras de tarro II. La botella de Klein

Bueno, como no podría ser de otra manera, he seguido dándole vueltas al tarro con esto de las dimensiones espaciales, y navegando por la web me he encontrado con algunos sitios web interesantes, como por ejemplo éste. Una de las cosas que me ha llamado la atención es la figura geométrica conocida como "Botella de Klein". En la imagen principal de esta entrada aparece una buena ilustración de una botella de Klein típica.

Si uno no se fijara con detenimiento podría pensar que no es otra cosa más que una simple figura geométrica de nuestro espacio 3d, sin embargo, una inspección más detallada nos revela que a esta figura le pasa algo raro. Se corta sobre sí misma formando una especie de bucle.
Si uno se imagina a una hormiguita o algún otro bichito (el que le tenga fobia a las hormigas o a los bichos que se imagine otra cosa) caminando por la superficie de la figura se encuentra con una cosa muy curiosa: Aunque parece que la botella de Klein tiene dos caras, y por consiguiente, un "adentro" y un "afuera" en realidad la figura solo tiene una cara. Si una hormiguita u otro bicho camina sobre la superficie desde "afuera" al cabo de un rato se encuentra que está "adentro".
Uno podría pensar: "Esto no es posible ya que cuando la botella se cruza sobre sí misma, una hormiga que caminase por la superficie se toparía con una pared!". Bueno es cierto, lo que ocurre es que hay que imaginarse que la hormiga está "inmersa" en la superficie de la botella, es decir, se trata de una hormiga que vive en una superficie de 2 dimensiones. Como una hormiga de Planilandia.
Incluso después de dar este salto dimensional, uno puede plantearse: "De todos modos esto no puede suceder en el mundo real, porque en nuestro mundo 3d las figuras geométricas no pueden cortarse sobre sí mismas sin tocarse". Esto es cierto. Si uno intenta hacer una botella de Klein de cristal se da cuenta de que no es posible salvar este escollo, véase la siguiente imagen:

Friki con su botella de Klein

Es aquí cuando empieza lo interesante. Resulta que una botella de klein no es una figura 2d inmersa en nuestro espacio 3d. En nuestro espacio 3d las superficies no pueden cruzarse sobre sí mismas sin tocarse, ¡pero en 4d si se puede!. ¡La botella de Klein es una superficie 2d inmersa en un espacio 4d, y la botella se cruza sobre sí misma sin tocarse ni nada!. ¡No si al final resulta que la Topología es interesante y todo! XDD.
Si antes de ver la imagen de la botella de Klein alguien me hubiese dicho que puede haber figuras geométricas de 2 dimensiones cerradas sobre sí mismas que no tienen un "adentro" o un "afuera", o que solo tienen 1 cara, le habría tomado por loco (o por matemático que casi viene a ser lo mismo XDDD*).
La idea de este tipo de superficies deriva de la famosa (por los matemáticos claro) Banda de Moebius:


Se puede ver también, que si uno se imagina hormiguitas bidimensionales andando por una banda de Moebius, éstas acaban andando "por la otra cara" de la cinta sin que hayan dado algún "salto". No se si me explico.

Sucede, que en las matemáticas hay un tipo de superficies que denominan "Superficies no-orientables". En el espacio 3d, las superficies cerradas tienen la característica de dividir el espacio de forma que hay zonas que quedan "dentro" de la figura geométrica y hay zonas que quedan "fuera". Sin embargo, en un espacio de mayores dimensiones, las superficies cerradas de 2 dimensiones se encuentran conque hay una dimensión que se les "escapa" y no pueden contener o acotar. Esto se pone de manifiesto con figuras como la botella de Klein.


*. Espero que no se ofendan los matemáticos con esta frasecilla de marras, que conste que a mi cada vez me gustan más las matemáticas.