martes, 19 de mayo de 2009

Dimensiones del espacio y comeduras de tarro




Resulta que desde ayer, mis compañeros de trabajo y yo empezamos ya a desbarrar algo más de la cuenta en los desayunos. El tema en cuestión de tan amenas charlas es el tema de las dimensiones del espacio.
El asunto comenzó al preguntarme una amiga del curro si el mundo que vemos lo vemos en 3d o en 2d. Yo, sin pensarlo mucho, todo sea dicho, dije..."pues vemos en 3d , está claro". Noooooooorrrrrrr!!!!. Al poco, y no sin una ayudita, ya me di cuenta de mi error.

Es evidente que vivimos en un mundo en 3 dimensiones. Hasta aquí no hay sorpresas (quitando de en medio teorías como la del universo holográfico, que solo de pensarlo ya me entra dolor de cabeza), bueno, en realidad, si consideramos la Relatividad General de Einstein, el tiempo está íntimamente entrelazado con el espacio, de forma que nuestro mundo, en realidad es de 4 dimensiones "espaciotemporales". Pero esto es otro tema digno de comeduras de tarro avanzadas.
Nuestro espacio convencional se puede simular perfectamente en un espacio euclidiano de 3 dimensiones. Ahora bien, una cosa es lo que el mundo es y otra cosa es lo que vemos de él.
Lo cierto es que al principio cuesta desarraigarse de que nuestra "percepción de la profundidad", no es más que una avanzada técnica inventada por el cerebro apoyada por una cierta disposición de los ojos (posición que nos proporciona lo que se conoce técnicamente como "visión estereoscópica", algunos animales, mayormente herbívoros, carecen de este tipo de visión y sus ojos están dispuestos de forma que proporcionan una visión periférica más adecuada para tener bajo control todo lo que sucede alrededor. La visión estereoscópica fue un invento de los depredadores para aumentar la eficiencia en la caza). Lo crucial en este se ve claramente en el hecho de que lo que vemos no es diferente de lo que se puede plasmar en una fotografía o en un dibujo, que al fin y al cabo están contenidos en superficies de 2 dimensiones. Nuestro cerebro, combina una secuencia de imágenes en 2 dimensiones y le aplica la percepción de profundidad, de ahí el hecho de que parezca que vemos en 3d. La tercera dimensión que añade nuestro cerebro no es más que la "profundidad" deducida de la combinación de imágenes en 2d.

Pensemos en lo que implica que el espacio sea tridimensional. Geométricamente se ve que en el espacio tridimensional tres líneas rectas pueden ser perpendiculares entre sí (por ejemplo los vectores unitarios del espacio euclídeo). Sin embargo es imposible que el ojo humano capte esto. Cuando vemos un objeto como un cubo de 6 lados, deducimos que las aristas son perpendiculares entre sí después de aplicar una serie de rotaciones al cubo; en cada una de esas rotaciones podremos ver que hay dos aristas perpendiculares entre si, pero para poder situar una tercera arista de forma perpendicular hay que someter al cubo a una nueva rotación haciendo que las dos primeras aristas dejen de ser perpendiculares en la imagen que se plasma en nuestro cerebro. Deducimos que las aristas son perpendiculares solamente después de girar el cubo el número de veces necesario.

Para comprender mejor porqué vemos en 2 dimensiones un mundo de 3, imaginemos cómo es la vida en el famoso mundo denominado "planilandia" de Edwin Abbot. Este es un mundo imaginario de dos dimensiones habitado por seres bidimensionales. Los seres bidimensionales de planilandia solo se pueden mover en las direcciones arriba-abajo y izquierda-derecha. Un ser bidimensional que contemple figuras geométricas como cuadrados o triángulos solo podrá observar segmentos de líneas, y no le será posible contemplar el cuadrado de una sola vez, es decir, no puede ver los 4 lados del cuadrado de una sola vez, sino que deberá girar el cuadrado para poder ver cómo es por detrás. El ser bidimensional no podrá deducir que el cuadrado es un ente igualmente bidimensional hasta que no haya hecho un número suficiente de giros para poder verlo desde diferentes direcciones. Sin embargo un ser tridimensional que observe planilandia y vea el cuadrado, no necesitará aplicarle ningún giro para poder ver los 4 lados a la vez. Un ser bidimensional solo puede observar segmentos unidimensionales de los objetos de su mundo bidimensional, es decir, la visión (por así decirlo) de un ser bidimensional es en 1 sola dimensión. Esto es así porque para poder ver el mundo se necesita de órganos receptores situados sobre la superficie del organismo, pero la superficie de un organismo de dimensión n es siempre n-1. Un organismo de 2 dimensiones tiene una "superficie" de 1 dimensión (una línea cerrada). Un organismo de 3 dimensiones (como nosotros) tiene una superficie de 2 dimensiones, y puesto que tenemos que disponer nuestras células fotosensibles sobre una superficie bidimensional solo podremos percibir la proyección del mundo tridimensional sobre una superficie bidimensional. Los organismos tridimensionales, por lo tanto, vemos en 2d y no en 3d.

Rápidamente se da uno cuenta de que para poder ver un cubo tridimensional de 6 lados en su totalidad necesitamos hacerle una serie de giros, es imposible contemplar las 6 caras del cubo a la vez de la misma forma que le es imposible a un organismo 2d ver los 4 lados del cuadrado al mismo tiempo.
Un organismo de 4 dimensiones que observase nuestro mundo tridimensional, podría disponer de una serie de células fotosensibles sobre su superficie tridimensional (recordemos que la superficie de un objeto de dimensión n es de dimensión n-1), y por lo tanto no necesitaría girar el cubo para poder ver los 6 lados a la vez. No necesitaría darle la vuelta a una persona para poder ver al mismo tiempo su cara y su nuca, o su pecho y su espalda.
El mundo 3d visto con unos ojos 3d sería muy diferente a como podemos verlo nosotros con nuestros ojos bidimensionales (nótese que aunque parece que nuestros ojos son tridimensionales ya que tienen anchura, altura, y profundidad, la capa de células fotosensibles es bidimensional, y la superficie de la célula fotosensible, al fin y al cabo, también es bidimensional).

Bueno ahí dejo eso para que os comáis el tarro que yo ya le he dado bastantes vueltas al asunto.

P.D.: Como regalo he puesto una imagen del artista holandés Maurits Cornelis Escher, famoso por sus proyecciones bidimensionales y perspectivas diabólicas

14 comentarios:

ζυςιfεя ψΨψ dijo...

En el siguiente enlace:

http://www.microsiervos.com/archivo/peliculas-tv/el-nudo-de-escher.html

puedes ver uno de los 'engaños' del extraordinario Escher

Juanma dijo...

Mola

ζυςιfεя ψΨψ dijo...

Escher me encanta, tengo algunos libros sobre su obra, y si quieres ver algunas 'frikadas' de locos por Escher:

http://www.andrewlipson.com/escher/relativity.html

http://www.cs.technion.ac.il/~gershon/EscherForReal/

Juanma dijo...

Resulta interesante El segundo enlace, aunque algo triste ya que destripa la "magia". Al final se da uno cuenta de que los objetos representados en las imágenes de Escher solo ponen de manifiesto nuestra incapacidad de ver objetos 3d con nuestra visión de 2d. Si no le hacemos un giro al triángulo de Penrose no podemos ver qué está fallando. Alguien que realmente viera en 3d no necesitaría hacer ningún giro para ver que no hay ninguna incongruencia.

Sin embargo otra cosa distinta (creo) es la banda de moebius. Otro objeto parecido a la banda de moebius es la botella de Klein (o superficie de Klein), pero estos objetos en realidad son representaciones en 3d de objetos de más dimensiones (la botella de klein está construida en 4d, ya que en 3d no es posible que una superficie pase através de sí misma son cortarse o tocarse).

Saludos.

joakin dijo...

Lo siento manito pero creo que hay un error en tu argumentación. Dices que percibimos la luz en una superfície de dos dimensiones. Diciéndolo supongo que te referirás a la retina. Pero en realidad deberías referirte a la célula perceptiva, cuya estructura sensible no es precisamente bidimensional, sino un apilamiento en vertical de numerosos sacos membranosos. Ello es así tanto en conos como en los bastones, los cuales, por cierto sí se disponen en una superfície pero recuerda que dicha superfície no es totalmente plana, sino cóncava de modo que puede percibir rayos reflejados de otras direcciones.

Juanma dijo...

Como dices, me refiero a la célula perceptora. No conozco en detalle la estructura de dichas células, pero aunque la superficie se arrugue amplificandose al máximo sigue siendo eso, una superficie. Me imagino que sucede algo de forma similar con las películas fotográficas o los chips de las cámaras digitales.
En el espacio tridimensional, los fotones interactúan con las capas de electrones de los átomos de las superficies de los cuerpos tridimensionales, y la superficie de un objeto tridimensional siempre es bidimensional.
Esto se ve de forma clara con las películas. En una película puede haber sensación de profundidad (y no me refiero al 3d de las salas con las gafitas de colores), la impresión de la vista no es muy diferente del visionado de una película, y una película no es más que una secuencia de fotogramas bidimensionales que se suceden al ritmo de varios fotogramas por segundo. Nuestro cerebro hace lo mismo, interpretar los fotogramas percibidos por las células en cada instante de tiempo.

Saludos.

joakin dijo...

Y si no tuviéramos percepción de la tercera dimensión, lo que sería la profundidad en una foto, no sabríamos a dónde tirar una piedra por detrás de un árbol.

Juanma dijo...

Tener el concepto de profundidad no es distinguir la tercera dimensión. La percepción de profundidad es adquirida por el cerebro como resultado de la acumulación de imágenes en la memoria. Si yo me muevo en un entorno tridimensional lleno de objetos, las posiciones relativas de los objetos entre sí cambian en mi impresión visual a medida que me muevo, si en cierta ocasión un objeto queda detrás de otro deduzco que está detrás y no superpuesto por las posiciones relativas que tenían antes y que están almacenadas en mi memoria.
Pero si me vendan los ojos y me llevan a un entorno nuevo y desconocido, en el momento en el que me quiten la venda no podré deducir las distancias ni podré tener una visión clara de la profundidad, necesitaré moverme un poco y a medida que me mueva y registre las posiciones relativas de los objetos podré hacerme un esquema mental del entorno.

Un organismo que viviese en un mundo bidimensional solo puede ver segmentos de líneas, su visión es pues unidimensional, pero ello no quita que si dicho organismo tiene memoria y puede registrar las posiciones relativas de otros objetos bidimensionales pueda adquirir percepción de la profundidad, pero el organismo no ve en dos dimensiones, ve e una sola, porque sólo puede percibir segmentos de líneas.

Juanma dijo...

Piensa en las pinturas de Escher, como la del inicio del blog.
A simple vista parecen normales, pero algo falla. Esto es porque el cerebro recurre a su base de datos para encontrar un objeto parecido al de la imagen, y cuando lo compara con el objeto que realmente ve comprueba que las perspectivas no coinciden y que hay algo raro en el cuadro de Escher. Pero esto es porque el objeto que pinta Escher es en realidad bastante diferente y está retorcido de tal forma que al adoptar un cierto ángulo de visión se parece mucho al objeto que tenemos almacenado en la memoria.
Escher se burla de nuestra visión bidimensional y nos presenta objetos que engañan a nuestro cerebro. Un ser que pudiese ver el objeto plenamente en sus tres dimensiones no sufriría tal engaño.

joakin dijo...

La verdad es que a punto he estado de sucumbir ante la perspetiva de que vemos en dos dimensiones y no en tres, como yo siempre había pensado. Después de darle vueltas y vueltas simplemente pensé que la cosa debía ser más sencilla. Estuve pensando en lo de las fotos y en la sensación de profundidad, incluso en los espejos (no hay mejor representación de la relaidad en dos dimensiones que la ofrece un espejo). Al final simplemente pensé que la vision no es sólo un proceso perceptivo, sino también constructivo y cognoscitivo. Gracias a que nuestro cerebro combina información del córtex visual, el tacto y la memoria (por aquello de recordar los distintos puntos de vista) en realidad sí vemos en tres dimensiones, las percibimos y las predecimos, las conocemos. En cualquier caso, si sólo fuera por el proceso de la percepción visual entonces sí que sólo veríamos en dos dimensiones.

Juanma dijo...

Ummmm, es verdad, no había caído en lo de los espejos.
Estoy de acuerdo en la visión no es solo un proceso perceptivo, pero el cerebro opera a partir de los datos de entrada, que son los que se obtienen a través de los sentidos, y no se puede educar al cerebro para ver o imaginarse algo conceptualmente distinto a lo que ha estado observando a lo largo de su vida. Es por esto por lo que no nos podemos imaginar objetos de mayores dimensiones. Con un objeto 3d pasa lo mismo. Cuanto te imaginas un cubo de 6 caras no lo estás viendo tridimensionalmente, estás viendo imágenes 2d.
La única forma de poder visualizar esto es imaginándose seres bidimensionales viviendo en un mundo 2d y luego hacer una ampliación a un nivel superior de dimensiones. En 2d no hay forma de que un ser hipotético bidimensional pueda apreciar 2d, ya que el está inmerso en su plano 2d por lo que solo ve segmentos de líneas. Por mucho que su cerebro imagine, procese y observe, su mundo observacional solo tiene 1 dimensión (los objetos son segmentos de líneas unidimensionales). Un ser de este tipo no puede ver lo que hay dentro de un cuadrado sin abrirlo, no puede ver los cuatro lados del cuadrado a la vez, y no puede deducir si los ángulos de un cuadrado son rectos entre sí a menos que haga una serie de rotaciones para comprobarlo.
Pero nosotros como seres tridimensionales podemos observar el mundo 2d desde una perspectiva ampliada. Podemos ver los 4 lados del cuadrado al mismo tiempo y ver que los ángulos son perpendiculares sin rotar el cuadrado, vemos directamente lo que hay delante y detrás.
Esto no quita que un ser bidimensional tenga percepción de la profundidad y comprenda que su mundo es 2d aunque solo pueda distinguir 1d. Por ejemplo la distancia hasta el observador se puede distinguir por un degradado del color. Si tienes dos cuadrados de color rojo situados uno detrás del otro aunque ligeramente desplazados uno respecto a otro, y no existiese degradado de color, no habría forma de que un ser bidimensional, el cual solo ve los cuadrados como segmentos de líneas, dedujese si se trata de una línea continua o dos líneas superpuestas. Pero si el color se desvanece con la distancia, se puede deducir la distancia relativa entre los cuadrados por su diferencia de color, y obtener con ello percepción de profundidad.
Haciendo la abstracción hacia un nivel superior de dimensiones, un ser hipotético 4d que observase nuestro mundo 3d tendría una perspectiva "superior". Podría ver las 6 caras del cubo a la vez, o no necesitaría darnos la vuelta para ver nuestra nuca o vernos por dentro. Ver en 3d significa almacenar mentalmente imágenes tridimensionales, imágenes en las que los tres lados de un cubo aparecen perpendiculares entre sí sin necesidad de introducir ninguna distorsión o transformación.

Si sigues teniendo dudas es porque no me explico bien jejeje.

Edith Saiz dijo...

Va, comprendo, una pregunta, un ser de dos dimensiones sólo tiene percepción lineal, y por memoria logra percibir la segunda dimensión y deducir que vive en un mundo de dos dimensiones, y pienso que no puede deducir un mundo de tres dimensiones porque en su memoria no existe esa posibilidad. ¿Me equivoco?
E.

Juanma dijo...

Completamente correcto Edith.

Gracias por escribir tu comentario.

Saludos.

Anónimo dijo...

Por lo tanto una línea que ve otra línea sólo ve un punto, pero si el punto es todo lo que vería, un ser unidimensional no puede ver?